Bakgrund:

Matematikämnet har i stor del sin utgångspunkt i läromedel. Lärare förlitar sig även ofta på att läromedel behandlar de mål som eleverna förväntas uppnå utan att själva reflektera över innehållet i läromedlen, vilket kan leda till att eleverna inte får den undervisning de behöver för att uppnå målen. Tidigare läroboksgranskningar visar på samma resultat. Däremot finns det inte mycket forskning som handlar om det matematiska innehållet geometri i läroböcker för årskurs 1–3.

Syfte:

Undersökningens syfte är att ta reda på om läroböckerna behandlar målen som eleverna förväntas uppnå inom det matematiska innehållet geometri.

Metod:

Vi har använt oss av metoden innehållsanalys, vilket är en kvalitativ metod. Vid analysen har även begrepp valts ut för att kunna kategorisera läroböckernas innehåll. Dessa begrepp är modellering, reflektion, representationsformer, fokusområde och teknikanvändning.

Resultat:

Studien visade att de valda läroböckerna till viss del behandlar målen som eleverna förväntas uppnå. Favorit matematik 3B inkluderar tvådimensionella objekt, punkt, linje, sträcka samt arbete med konkret material. Singma matematik 3B stödjer i sin tur tvådimensionella och tredimensionella objekt. Däremot fanns det delar i de båda läroböckerna som hämmar eleverna att uppnå målen. Favorit matematik 3B inkluderar inte tredimensionella objekt och Singma matematik 3B exkluderar arbete med konkret material.

In this paper, an approach to generate surrogate models constructed by radial basis function networks (RBFN) with a priori bias is presented. RBFN as a weighted combination of radial basis functions only, might become singular and no interpolation is found. The standard approach to avoid this is to add a polynomial bias, where the bias is defined by imposing orthogonality conditions between the weights of the radial basis functions and the polynomial basis functions. Here, in the proposed a priori approach, the regression coefficients of the polynomial bias are simply calculated by using the normal equation without any need of the extra orthogonality prerequisite. In addition to the simplicity of this approach, the method has also proven to predict the actual functions more accurately compared to the RBFN with a posteriori bias. Several test functions, including Rosenbrock, Branin-Hoo, Goldstein-Price functions and two mathematical functions (one large scale), are used to evaluate the performance of the proposed method by conducting a comparison study and error analysis between the RBFN with a priori and a posteriori known biases. Furthermore, the aforementioned approaches are applied to an engineering design problem, that is modeling of the material properties of a three phase spherical graphite iron (SGI). The corresponding surrogate models are presented and compared.

Bakgrund: Forskning visar att lärare sällan upptäcker särskilt begåvade elever i matematikundervisningen, vilket leder till att särskilt begåvade elever inte får den undervisning som de behöver för att kunna utvecklas på sin nivå. Begreppet särskilt begåvad har olika betydelser, och kan vara svårt att identifiera. Har inte läraren kunskap om särskilt begåvade elever kan det bli svårt att motivera och ge rätt anpassningar till dessa elever. Får inte de särskilt begåvade utveckla sina förmågor, riskerar det att eleverna inte känner sig delaktiga i undervisningen, vilket kan leda till att eleverna får en negativ inställning till skolan. Eleven kan visa uppmärksamhetsproblem, inlärningssvårigheter eller ha svårt med socialt samspel, på grund av understimulans.

Syfte: Syftet är att belysa lärares kunskap om och erfarenheter av att identifiera och undervisa särskilt begåvade elever i matematik, för att se om lärarna kan motivera och anpassa för de särskilt begåvade eleverna på sin nivå. Studien avgränsas till lärare som undervisar i klass F-3.

Metod: För att besvara våra tre forskningsfrågor samlade vi in empiri genom att utföra kvalitativa intervjuer. Vårt material samlades in under två veckors tid och vi fick genomföra intervjuer var för sig, på grund av att det var svårt att få tag på respondenter. Därför fick vi vara flexibla och lyssna efter vad våra respondenter önskade. Vi intervjuade fem respektive tre respondenter var via fysiskt möte och på plattformen Zoom.

Resultat: Vårt resultat i studien visade att majoriteten av lärarna kände till några eller enstaka kännetecken kring vad som menas med att vara en särsklit begåvad elev inom matematiken. De flesta av lärarna hade vare sig någon kunskap eller erfarenhet i att identifiera särskilt begåvade elever. Resultatet visade också att det enbart vara få lärare som kunde ge redogöra för hur man som lärare skulle kunna motivera och anpassa för en särskilt begåvad elev. Det visades sig att de flesta lärarna kunde enbart påvisa hur de skulle kunna motivera och anpassa undervisningen mer generellt för elever som har lättare för matematiken. 

This study investigate how the effect of cross border activities between Sweden and its three Nordic neighbours influence the Swedish local economies along the border using municipal data from 2009. Two measures for the local economies are examined, economic activity (measured by gross pay per inhabitant) and employment rates. The Swedish border regions where divided into four regions: The Swedish border to Finland, The Swedish border to the part of Norway not included in the Oslo labour market, The Swedish border to the Oslo labour market, and the Swedish-Danish border region. The regression models show how the the regions compare to the Swedish average when controlled for market structure and accessibility to population. For Sweden's border regions to Denmark and the Oslo labour market there are significant improvements in both economic activity and employment rates when the border activity is included. The improvement is highest for the Oslo border regions. For the Swedish border to Finland and to the part of Norway not included inte the Olso labour market the border activity has no significant influence on either economic activity or employment rates.

The main purpose in this paper is to study to what extent accessibility to R&D is an important factor of explaining municipal economic growth. Of special interests is the question whether, the effect of company (private) R&D efforts on economic growth differ if a university college is present in the municipality or not. Therefore the empirical analysis is conducted on a reduced dataset (92 out of 290 municipalities), containing only middle-sized municipalities without traditional ´old´ universities. The idea of the selection process was to find two sets of comparable municipalities with one containing municipalities with university colleges and one with municipalities without university colleges. In the empirical analysis a knowledge production function is estimated with the difference in Gross Municipal Product, GMP, between 1993 and 2001 as the output. In order to account for the importance of proximity, the explanatory variables are expressed as accessibilities to university and company R&D. The total accessibility is then decomposed into local, intra-regional and inter-regional accessibility to R&D. The main results show that local and intra-regional accessibility to company R&D has positive effects on economic growth. On the other hand, local accessibility to university R&D is of no importance, while there are influential effects of intra-regional university R&D. Moreover, the presence of university college R&D activities decreases the importance of the local accessibilitiy to company R&D or put it differently, local accessibility to company R&D is more important in municipalitites without university college activities.

Bakgrund: Lärares förståelse av begreppet och integreringen av estetiska lärprocesser varierar. Förståelsen påverkar hur lärare integrerar estetik i sin matematikundervisning. Utformningen inverkar på vilka kunskaper som eleverna får, och estetiska lärprocesser är gynnsamma för elevernas matematiska kunskapsutveckling.

Syfte: Syftet är att belysa lärares syn på estetiska lärprocesser i samband med elevers kunskapsutveckling i matematik. Vidare syftar studien att belysa om lärare väljer att använda sig av estetiska lärprocesser i matematikundervisningen, och i så fall hur och på vilka grunder. Studien avgränsas till att undersöka lärare som undervisar i matematik i årskurs F-3.

Metod :Studien utgår från en kvalitativ metod med intervjuer. Sju lärare har deltagit. Datamaterialet analyseras genom en tematisk analys.

Resultat: Lärares begreppsförståelse av estetiska lärprocesser varierade mellan bild, sång, dans, lekar och sinnlighet. För några var det ett nytt begrepp som de hade svårt att förklara. Integreringen varierade mellan bland annat bild, lek och dans för att det är glädjefyllt och gynnsamt för elevernas kunskapsutveckling. Det framkom också lärare som inte använder estetiska lärprocesser, för risken att få fel fokus på lektionerna, tidskrävande och ställer krav på kompetens och trygghet i att använda estetik.

Syftet med studien är att bidra med ökad kunskap om såväl elevers val som användande av beräkningsmetoder i subtraktion.

Studien avser även bidra med kunskap om vanliga felaktigheter samt vad som ligger till grund för dessa. Enligt läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Lgr22. 2022, s. 54–56) ska eleverna ges möjlighet att utveckla förmågan att använda olika beräkningsmetoder vilket en god taluppfattning bidrar till.

Studien är kvalitativ då en innehållsanalys använts som analysmodell med ett teoretiskt ramverk som analysverktyg. Studien innehåller även kvantitativa element vilka utgörs av delar ur analysen. Datamaterialet samlades in genom att eleverna fick lösa subtraktionsuppgifter. Beräkningsmetoderna analyserades därefter med hjälp av analysverktyget.

Resultatet visar att elever använder olika beräkningsmetoder samt att de byter metod. Resultatet visar även att eleverna inte är förtrogna med hur metoderna används då felaktigheter visat sig vanligt.

Bakgrund:

Feedback inom matematik är en viktig faktor för elevers inlärning. Den typ av feedback elever får resulterar i skilda konsekvenser där elevernas inlärning påverkas. Elever gynnas av feedback där de själva intar en aktiv roll och därtill får samtala och diskutera. Trots detta har det visat sig att feedback där lärare förklarar och eleverna lyssnar är dominerande. Det är därför betydande att bidra med kunskap inom området och därtill utveckla lärares feedbackutövning inom matematik.

Syfte:

Studiens syfte är att undersöka lärares förklaringar till varför de väljer att ge den typ av feedback de ger i matematikundervisningen. Detta för att bidra med kunskap om vad som kan ligga till grund för den feedback som utövas inom matematik. Med denna kunskap kan därefter feedbackutövning utvecklas och elever kan komma att få feedback som gynnar deras matematikinlärning.

Metod:

Studien har utgått från en kvalitativ metod där datamaterialet samlats in via interjuver. Intervjuerna bestod av vinjetter med vanligt förkommande misstag inom matematik. Lärare i årskurs 1–3 har utifrån vinjetterna fått förklara vilken typ av feedback de skulle ge i matematikundervisningen och förklarat varför de ger den typ av feedback.

Resultat:

Studiens resultat visar att lärare ger olika förklaringar till den typ av feedback de ger. Lärare ger lärarcentrerad feedback där de förmedlar procedurkunskap dels för att visa hur ett matematiskt verktyg används, dels för att lära ut det “rätta sättet”. Resultatet visar att lärare väljer lärarcentrerad feedback där de förmedlar konceptuell kunskap för att elever ska förstå grunderna samt vad som är mest användbart. De förklaringar lärare ger till valet av elevcentrerad feedback med frågor som åtgärd är att de vill ge individualiserad feedback eller utveckla elevers resonemangsförmåga. Till sist väljer lärare elevcentrerad feedback med förslag om aktivitet som åtgärd då de menar att elevers matematikinlärnings gynnas av laborativt arbete samt att de befäster kunskaper genom egna upptäckter.

Bakgrund: Resultat från PISA-undersökningar visar på att svenska elevers kunskaper i matematikämnet har försämrats. Tidigare forskning lyfter fram att lärares didaktiska val i matematikundervisningen påverkar elevers resultat i ämnet. Både tidigare och nuvarande läroplaner samt olika perspektiv inom matematikdidaktik har satt sin prägel på matematikundervisningen i skolan.

Syfte: Studien ämnar undersöka vilka matematikundervisningsmetoder som en grupp verksamma lärare i årskurs 1–3 använder sig av samt deras erfarenheter av de olika undervisningsmetoderna. Vidare avses studien att synliggöra vilka faktorer som en grupp lärare anser influerar i valet av undervisningsmetod. 

Metod: Undersökningen har utförts genom kvalitativa semistrukturerade intervjuer tillsammans med sex verksamma matematiklärare i årkurs 1–3. Med en fenomenologisk ansats möjliggörs det att undersöka lärares upplevda erfarenheter. Studien utgår därför från ett fenomenologiskt perspektiv med inriktning på matematikdidaktisk forskning. 

Resultat: Studien belyser den didaktiska frågan hur och synliggör sex matematiklärares erfarenheter av matematikundervisningsmetoderna; TRR-undervisning (Tänka, Resonera och Räkna), traditionell matematikundervisning, digital matematikundervisning och praktisk matematikundervisning. Genom analysarbetet identifierades sju faktorer som en grupp lärare anser påverkar deras didaktiska val. Resultaten synliggör att kunskapsutveckling, elevers fokus och klassrumsklimat är faktorer som lärarna i studien främst tar hänsyn till när de beslutar vilken matematikundervisningsmetod de ska använda sig av.

Det här är en kvalitativ studie där syftet är att undersöka matematikbokens roll ur ett lärarperspektiv. Genom skriftliga intervjuer har totalt nio lärare för årskurserna 1-3 deltagit i studien. Samtliga lärare använder matematikböcker i sin undervisning.

Resultatet visar att lärarna anser att boken är en trygghet och tidsbesparande vid planering av undervisningen. Matematikboken medför dock begränsningar och lärarna förklarar hur den inte bör vara det enda läromedlet i undervisningen. Eleverna arbetar för det mesta enskilt i matematikböckerna för att befästa sina kunskaper genom färdighetsträning. Eleverna arbetar en övervägande del av undervisningstiden i böckerna. Det finns dock andra komplement i undervisningen utöver matematikböcker som eleverna arbetar med som exempelvis konkret material.

Avslutningsvis diskuteras resultatet av studien utifrån tidigare forskning och variationsteorin.

In this article, we analyze the category(Formula presented) of unitary G-graded modules over object unital G -graded rings R, being G a groupoid. Here we consider the forgetful functor  G - R- mod and determine many properties (Formula presented.) for which the following implications are valid for modules M in (Formula presented.) M is (Formula presented.) (Formula presented.) U(M) is (Formula presented.) U(M) is (Formula presented.) (Formula presented.) M is (Formula presented.) We treat the cases when (Formula presented.) is any of the properties: direct summand, projective, injective, free and semisimple. Moreover, graded versions of results concerning classical module theory are established, as well as some structural properties (Formula presented.). 

We extend the classical construction by Noether of crossed product algebras, defined by finite Galois field extensions, to cover the case of separable (but not necessarily finite or normal) field extensions. This leads us naturally to consider non-unital groupoid graded rings of a particular type that we call object unital. We determine when such rings are strongly graded, crossed products, skew groupoid rings and twisted groupoid rings. We also obtain necessary and sufficient criteria for when object unital groupoid graded rings are separable over their principal component, thereby generalizing previous results from the unital case to a non-unital situation. © 2020 The Author(s). Published with license by Taylor and Francis Group, LLC.

A thermal plasma is studied accounting for both impact ionization, and an electromagnetic field. This plasma problem is modeled based on a system of Boltzmann type transport equations. Electron-neutral collisions are assumed to be much more frequently elastic than inelastic, to complete previous investigations of thermal plasma . A viscous hydrodynamic/diffusion limit is derived in two stagesdoing an Hilbert expansion and using the  Chapman-Enskog method. The resultant viscous fluid model is characterized by two temperatures, and non equilibrium ionization. Its diffusion coefficients depend on the magnetic field, and can be computed explicitely.

Bakgrund: Flera studier visar att matematikundervisningen är starkt läroboksbunden. Det innebär att undervisningen styrs genom läromedlen. Till detta genomförs ingen statlig kontroll över huruvida läromedlen är i linje med kursplanen i matematik. Flera forskare är överens om att de elever som presterar bäst i matematikämnet spenderar mest tid åt problemlösning. Det uppmärksammas också att problemlösningsuppgifterna i läromedlen brister i flera avseenden. Dessutom synliggörs att lärare i matematik ofta bortser från lärarhandledningen, trots att lärarhandledningen kan komplettera problemlösningsuppgifterna i flera avseenden. 

Syfte: Syftet med den här studien är att undersöka och jämföra hur problemlösningsuppgifter representeras i två läromedel i årskurs 4.

Metod: I den här studien har vi genomfört en kvalitativ och kvantitativ innehållsanalys för att undersöka och jämföra hur problemlösningsuppgifter representeras i två matematikläromedel i årskurs 4. Genom att kombinera den kvantitativa innehållsanalysen med en kvalitativ innehållsanalys fick studien en större meningsfullhet, där vi undersökte mängden och kvalitén på problemlösningsuppgifterna i respektive läromedel.

Resultat: Studiens resultat visar tydliga skillnader mellan läromedlen Koll på matematik 4Aoch Singma matematik 4A i relation till rika problem och synsätt på problemlösning. I Koll på matematik finns inga rika problem, medan vi endast hittat två rika problem i Singma matematik. Kriterier för rika problem uppfylls till högre grad i Singma matematik, samt i en lägre grad i Koll på matematik. I Singma matematik synliggörs synsätt att arbeta både för, om och genomproblemlösning, medan det i Koll på matematik främst handlar om att arbeta förproblemlösning. Resultatet visar även att lärarhandledningen har en betydelsefull roll i bland annat kriterium fyra och fem för rika problem. Såväl Koll på matematik som Singma matematik är beroende av lärarhandledningen för att uppmana elever att använda olika uttrycksformer och att initiera till rika matematiska diskussioner. 

We investigate criteria for von-Neumann finiteness and reversibility in some classes of non-associative algebras. Types of algebras that are studied include alternative, flexible, quadratic and involutive algebras, as well as algebras obtained by the Cayley–Dickson doubling process. Our results include precise criteria for von-Neumann finiteness and reversibility of involutive algebras in terms of isomorphism types of their 3-dimensional subalgebras. © 2020, The Author(s).

In this article we apply a finite element method for approximating the geometrical deformation of a two dimensional incompressible fluid body the flow velocity of which is not constrained along its top boundary. As a pressure force is applied on the free boundary, the domain occupied by the fluid deforms. There are several well established methods for treating this type of problem. The purpose of the present work is to investigate the computational efficiency of a number domain-mapping methods, which are akin to many solid mechanical applications involving large deformations, in that they employ a mapping of the initial configuration range onto the current. However, in fluid dynamical applications the deformation of the fluid body may be very large and contain several vortices. When employing domain-mapping methods, the spatial representations of the element domains are attached to the motion, and the Lagrange formulation is therefore inadequate. Instead we wish to find a motion which minimizes the element deformations and the computational complexity of the problem, while satisfying the kinematic constraint along the boundaries.

This investigation is devoted to the study of welding and its effect on the workpiece, focusing on the thermo and fluid dynamical phenomena occuring during a autogenous or nonautogenous arc fusion welding process. Its aim is to simulate the behaviour of the weld pool and analyze the consequence of the solid-liquid phase change, thus obtaining a methodology for predicting the appearance of weld defects related to solidification and cooling. In order to accomplish this, we solve equations governing a number of continuum mechanical and electromagnetical quantities, as well as consider the motion of the freely moving boundary of the weld pool. Since the state of these quantities is strongly influenced by phenomena such as arc and droplet impingement, non-isothermal phase change, surface tension, Marangoni forces and Lorentz forces, much effort is necessarily devoted to the modelling of the corresponding fluxes and sources, as well as to the implementation of computationally efficient techniques for simulating the geometrical deformation of the workpiece, which in our setting is entirely determined by the motion of the weld pool surface.

Common to all arc fusion welding processes is the employment of a welding arc. Many techniques rely on the arc to clean and shield the workpiece during the process, however in this study we consider it to be its main purpose to cause the local increase of thermal energy that is required for the establishment of the weld pool, and also to exert the mechanical forces that provoke the subsequent fluid flow which enhances heat transfer and facilitates weld penetration. The physics of the welding arc itself is quite intricate, and although the modelling of the arc is not the prime objective of this research project, we conclude that arc forces act on the pool surface, and that the investigation of the arc behaviour is important insofar that it provides input to the pool model and thus enables a more accurate prediction of the quality of the weldment that is created once the pool has solidified

We develop a framework for solving the stationary, incompressible Stokes equations in an axisymmetric domain. By means of Fourier expansion with respect to the angular variable, the three-dimensional Stokes problem is reduced to an equivalent, countable family of decoupled two-dimensional problems. By using decomposition of three-dimensional Sobolev norms, we derive natural variational spaces for the two-dimensional problems, and show that the variational formulations are well-posed. We analyze the error due to Fourier truncation and conclude that, for data that are sufficiently regular, it suffices to solve a small number of two-dimensional problems.

Estimation of variance in an ordinary adjustment model is straightforward, but if the model becomes unstable or ill-conditioned its solution and the variance of the solution will be very sensitive to the errors of observations. This sensitivity can be controlled by stabilizing methods but the results will be distorted due to stabilization. In this paper, stabilizing an unstable condition model using Tikhonov regularization, the estimations of variance of unit weight and variance components are investigated. It will be theoretically proved that the estimator of variance or variance components has not the minimum variance property when the model is stabilized, but unbiased estimation of variance is possible. A simple numerical example is provided to show the performance of the theory.

|

Estimated variance components may come out as negative numbers without physical meaning. One way out of this problem is to use non-negative methods. Different approaches have been presented for the solution. Sjöberg presented a method of Best Quadratic Unbiased Non-Negative Estimator (BQUNE) in the Gauss-Helmert model. This estimator does not exist in the general case. Here we present the Modified BQUNE (MBQUNE) obtained by a simple transformation from the misclosures used in the BQUE to residuals. In the Gauss-Markov adjustment model the BQUNE and MBQUNE are identical, and they differ in condition and Gauss-Helmert models only by a simple transformation. If the observations are composed of independent/disjunctive groups the MBQUNE exists in any adjustment model and it carries all the properties of the BQUNE (when it exists). The presented variance component models are tested numerically in some simple examples. It is shown that the MBQUNE works well for disjunctive groups of observations.

This paper reports on the experiences from online courses in applied statistics. The courses were designed with the ambition of making studies in statistics, fun, interesting, useful, not that difficult and directly supported the possibility to combine studies and work. When designing the courses we considered three dimensions: "pedagogies","community" and "structure". Experiences after giving a first-year course three times show that the online course succeeds in attracting new studen ts since 90% of the participants would not be able to follow an on-campus course and 62% worked full time.

The pedagogies were highly appreciated because focusing on the interpretation of results and using computer analyses really changed the prejudices about statistics. Structure and prompt feedback was experienced as important factors. It was possible to combine online studies with employment, and the student completion rate was (84%, 55% and 61%), with a potential for further improvements.

Undersökningen handlar om gymnasieelevers svårigheter med procentavsnittet i matematik. Syftet var att undersöka vilka svårigheter eleverna har att lösa olika sorters räkneuppgifter av procentkaraktär. Vi ville även veta om det skiljer i svårighet att lösa sifferuppgifter respektive textuppgifter samt hur det är med den matematiska begreppsförståelsen. Studien är gjord på två gymnasieskolor i Västsverige och omfattar 68 elever från fyra olika klasser i årskurs 1 på teknikprogrammet. Samtliga elever har svarat på ett skriftligt test i form av ett diagnostiskt prov och av dessa har sedan 19 elever också intervjuats. Den skriftliga diagnosen bestod av uppgifter av följande fem typer: Att räkna ut delen, då det hela och procenttalet är kända. Att räkna ut det hela, då delen och procenttalet är kända. Att räkna ut procenttalet, då delen och det hela är kända. Begreppen procent och procentenheter. Kombinationer och räkning med procent i flera steg. Elevernas svar har granskats och analyserats med utgångspunkt från Kilpatrick, Swafford och Bradfords (2001) samt Mölleheds (2001) forskning vars arbeten lyfter fram olika färdigheter och påverkansfaktorer som har betydelse för elevernas resultat vid problemlösning i matematik. Vi har funnit att de flesta elever inte har så stora problem när det gäller de enklare uppgifterna. De problem som finns här består mest av missförstånd av texten, låg uppmärksamhet och bristande räkneförmåga. De lite mer krävande uppgifterna avslöjar desto fler svårigheter. Både antalet svårigheter och antalet elever med svårigheter ökar. I diagnosen finner vi exempel på osäkerhet kring Kilpatricks et al. (2001) alla matematiska färdigheter samt flera av Mölleheds (2001) påverkansfaktorer. Svårigheterna består i osäkerhet att räkna på rätt sätt och att tolka det uträknade värdet för att kunna svara på den ställda frågan. En textuppgift med helheter och delar som måste byta relation under lösningen av problemet ställer till bekymmer för många. Ingen av de undersökta eleverna har ritat upp och visualiserat i sina uträkningar vilket är en brist då det hade förenklat förståelsen av texten. Vi har även funnit att det finns problem med att på ett korrekt sätt ställa upp det bråk som räknar ut procenttalet, då delen och det hela är kända. En del elever vill gärna ha den stora delen i nämnaren oavsett fråga. Det finns även brister i den matematiska begreppsförståelsen vilken är av stor betydelse för problemlösning. Skillnaden mellan procent och procentenheter är ett sådant exempel. Begreppet procentenheter har gett stora svårigheter för eleverna att tolka och beräkna liksom behandlingen av olika förändringsfaktorer.

The eigenvectors of the electronic stress tensor can be used to identify where new bond paths form in a chemical reaction. In cases where the eigenvectors of the stress tensor are not available, the gradient-expansion- approximation suggests using the eigenvalues of the second derivative tensor of the electron density instead; this approximation can be made quantitatively accurate by scaling and shifting the second-derivative tensor, but it has a weaker physical basis and less predictive power for chemical reactivity than the stress tensor. These tools provide an extension of the quantum theory of atoms and molecules from the characterization of molecular electronic structure to the prediction of chemical reactivity. © 2011 American Institute of Physics.

Bakgrund:

Svenska elever uppvisar sämre kunskaper vad gäller taluppfattning och aritmetik i jämförelse med det genomsnittliga resultatet i matematik (Skolverket, 2020). Larsson (2016) framför att en möjlig faktor för sjunkande elevresultat är att multiplikation introduceras på ett icke hållbart sätt och i en mycket begränsad utsträckning. Detta resulterar i att eleverna inte utvecklar en förståelse för multiplikationens roll i matematiken.

Syfte:

Syftet med studien är att bidra med kunskap om hur elever får arbeta med multiplikation i elevböckerna och vilket stöd som lärare får av lärarhandledningar i undervisning av multiplikation.

Metod:

För att samla in studiens empiriska material valdes innehållsanalys som metod för att undersöka hur multiplikationsuppgifter framställs i läromedel och vilka representationsformer som elever får möta i två olika läromedel. Vidare vilket stöd som respektive stöd som lärarhandledningarna ger lärare i att introducera multiplikation. För att räkna antal multiplikationsuppgifter i förhållande till kritiska aspekter användes den kvantitativa analysen.

Resultat:

I Favorit matematik visar resultatet att elever får räkna multiplikation genom upprepad addition medan i Singma fick eleverna räkna multiplikation genom gruppering. I båda läromedlen var de mest synliga representationsformerna de abstrakta, halvabstrakta och halvkonkreta representationsformerna. Den konkreta representationsformen förekommer endast i läromedlet Singma matematik. I både läromedlen synliggjordes läromedlens kritiska aspekter utifrån kontrastering, generalisering och fusion. För att synliggöra lärandet användes mestadels kontrastering i Favorit matematik medan i Singma användes mestadels generalisering. Båda handledningarna till respektive läromedel var mestadels av bildande karaktär.

Bakgrund: För att möta samhällets internationalisering behöver barn och unga utveckla förmågan att förstå och leva med de värden som finns i den kulturella mångfalden (Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet [Lgr11], 2019:5). Sveriges skolor behöver därför arbeta aktivt för att utveckla elevernas förståelse för andra människor och undvika diskriminering. Det är enligt statens medieråd (2017:3f) viktigt att kritiskt granska bilder eftersom bilder förmedlar budskap. Elever kan påverkas av det som finns representerat i bild, men även det som utesluts. Det är därmed viktigt att kritiskt granska bilder som finns illustrerade i de material som skolelever använder för att säkerställa att det finns representation av etnisk mångfald. En kategori av läroböcker som saknar forskning där böckerna granskats kritiskt ur ett etniskt mångfaldsperspektiv är matematikläroboken. Utifrån detta finner vi ett intresse av att granska matematikläroböcker för att se vad eleverna faktiskt möter för representation av etnisk mångfald i första klass.

Syfte: Studien granskar representation och positionering av etnisk mångfald i utvalda svenska matematikläroböcker. Studiens primärmaterial är illustrationer.

Metod: För att besvara studiens frågeställningar utförs en innehållsanalys som mäter och kartlägger frekvens av hur många gånger karaktärer visas och frekvens på attribut som kan indikera etnisk mångfald. Genom en mer djupgående multimodal analys av utvalda bilder diskuteras vidarehur olika karaktärer framställs för att se hur etnisk mångfald representeras och positioneras.

Resultat: I två av de tre utvalda matematikläroböckerna finns indikationer på etnisk mångfald. Det visade sig däremot att olika attribut som kan förstärka bilden av att en karaktär tillhör en viss etnicitet utesluts. De enda indikationer som synliggjordes var att det finns en variation av hudfärg samt att hårtyper till viss del varierade. Det går inte säga vilken etnicitet någon tillhör, men det tycks finnas en önskan om att erbjuda ett material med etnisk mångfald. I studiens fall visade det sig att ljus hudfärg dominerade i samtliga böcker. Trots att det finns en variation hade det varit önskvärt att karaktärer som positioneras med en hudfärg som indikerar annan etnicitet än vit västerländsk hade fått mer utrymme, så att fler elever kan känna igen sig själva i materialet

Bakgrund:

Studien grundar sig i att mätningar av svenska elevers matematikkunskaper i grundskolan visat sig vara lägre jämfört med andra länder. Mätningarna visar att problemlösningsförmågan hos elever är låg och att det således är en förmåga som svensk skola behöver arbeta mer med. Problem kan delas in i olika grupper däribland en grupp är rika matematiska problem. De rika matematiska problemen bjuder in till att alla elever kan arbeta med dem och att de behandlar andra förmågor. Eftersom läromedel inte längre kvalitetssäkras av staten är det angeläget att undersöka hur uppgifter i läromedel i matematik behandlar rika problem ochdess koppling till förmågorna.

Syfte:

Arbetes syfte är att utifrån två läromedel i matematik granska skillnaden mellan problemlösningsuppgifter och rika problemlösningsuppgifter. För att undersöka skillnaderna syftar studien också till att undersöka i vilken utsträckning problemlösningsförmågan, resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan är möjliga att utveckla utifrån uppgifterna.

Metod:

Granskningen sker genom en kvalitativ innehållsanalys. För att tolka uppgifterna i läromedlen används olika teorier om problemlösning. Teorierna från Hagland m.fl. (2005), Pólya(1957) och Taflin (2007) omarbetas till tre analysmallar som utgörs som analysverktyg. För att granska förmågorna; problemlösningsförmågan, resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan används läroplanen i matematik som utgångspunkt. Sex uppgifter från varje läromedel väljs ut varav två klassificeras som problemlösningsuppgifter och fyra som rika problemlösningsuppgifter.

Resultat:

Studiens visade att problemlösningsuppgifter i läromedel är beroende av hur läraren väljer att arbeta med materialet. Lärarhandledningen kan rekommendera hur uppgifter kan arbetas med, men i slutändan är det upp till läraren att använda materialet på rätt sätt utefter elevernas behov. Det är också genom läraren som de avgörs vilken roll de rika problemen får i undervisningen. Liknade resultat framkom angående förmågorna. Problemlösningsuppgifter kan besitta potential till att utveckla flera förmågor, men det kräver att läraren ger eleverna möjligheter till det.

Bakgrund: Motivation är en av de viktigaste grundpelarna till att lyckas inom matematikämnet. Forskning pekar på att olika elevgrupper motiveras av olika aspekter i relation till matematikämnet. Därför vill vi genom den här studien undersöka skillnader och likheter i motivationsmönster och syn på egen kompetens mellan olika elevgrupper i årskurs fyra och årskurs fem.

Syfte: Studien har en kvantitativ ansats och bygger på empiri från forskningsprojektet Matematikmotivation i grundskolans tidigare år – en longitudinell undersökning i sex europeiska länder (Mathmot).

Metod: För att analysera empirin används den teoretiska modellen Expectancy-value theory of achievement motivation (EVT).

Resultat: Resultatet av studien visar att det finns olika mönster för hur elever blir motiverade delvis beroende på vilken elevgrupp de tillhör, exempelvis visa studien att synen på egen kompetens är av stor vikt för elevers motivation i matematikämnet. Resultatet visar även hur vissa faktorer tydligare har ett gemensamt mönster än andra faktorer och att de är avgörande för huruvida elever ska prestera lägre eller högre.

Bakgrund: I kursplanen för matematik (Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet [Lgr11], 2019) uttrycks fem matematiska förmågor som eleverna ska utveckla under sina år i grundskolan. Forskning visar att arbete i läromedel är den vanligaste undervisningsmetoden inom matematik (Johansson, 2011, s. 149). I relation till förmågorna kan det ses som problematiskt då forskning visar att läromedel främst tränar procedurförmågan (Lithner 2008; Segerby 2017). Vidare visar forskning att resonemangs- och problemlösningsförmågan är underrepresenterade, förmågor som beskrivs vara viktiga för elevers matematikutveckling (Heiberg Solem m.fl. 2011; Lithner 2008; Sidenvall 2019; Taflin 2007; Segerby 2017). Det kan därför ses som relevant att genomföra läromedelsanalys för att undersöka fördelningen av de fem matematiska förmågorna i två valda läromedel. 

Syfte: Syftet med studien var att utifrån en innehållsanalys undersöka förekomsten av de fem matematiska förmågorna i två läromedel. De förmågor som undersöktes benämns i den här studien som: begreppsförmåga, procedurförmåga, problemlösningsförmåga, resonemangsförmåga och kommunikationsförmågan. 

Metod: Studien har genomförts med innehållsanalys som metod och kodschema valdes som analysverktyg. Studien har främst en kvantitativ utgångspunkt med kvalitativa inslag. 

Resultat: Resultatet visar på att alla fem matematiska förmågorna finns representerade i Eldorado och Favorit matematik men att det är en ojämn fördelning mellan dessa. Den förmåga som har högst representation är procedurförmågan och de förmågor som har lägst representation är resonemang- och problemlösningsförmågan. Kommunikation- och begreppsförmågan har båda en representation på runt 20%.

Bakgrund: I TIMSS undersökning framkommer det att Sverige är ett av de länder som i störst utsträckning använder läromedel som basmaterial i matematikundervisningen (Skolverket, 2012). Det framkommer även att svenska elever presterar under genomsnittet jämfört med de andra deltagande EU- och OECD-länderna (Skolverket, 2020). I denna studie kommer området bråk i läromedel stå i fokus då flera forskare hävdar att bråk är ett grundläggande ämne för att elever ska kunna tillägna sig ytterligare matematiska kunskaper. Samtidigt är bråk ett omdiskuterat och komplicerat ämne som innefattar flera kritiska aspekter vilka är viktiga att ta hänsyn till i undervisningen.

Syfte: Syftet med denna undersökning är att granska två olika läroböcker och utifrån ett variationsteoretiskt synsätt undersöka hur läromedlens uppgifter ger eleverna möjlighet att upptäcka kritiska aspekter och utveckla kunskaper om bråk.

Metod: Studien är en kvalitativ innehållsanalys av två läromedel: Favorit matematik 2a och Singma matematik 2a. De här läromedlen kommer med utgångspunkt i variationsteorin analyseras utifrån två kritiska aspekter: del av helhet och antal, samt täljaren och nämnarens betydelse.

Resultat: Resultatet i studien visar att det finns betydelsefulla skillnader när det kommer till de två läromedlen Favorit matematik 2a och Singma matematik 2a. I resultatet framkommer det att Singma matematik 2a:s lärobok behandlar de kritiska aspekterna inom bråk i större utsträckning än vad Favorit matematik 2a gör samt att Singma matematik 2a har en större spridning av de olika variationsmönstren. Läromedlens struktur och hur de kritiska aspekterna och variationsmönstren synliggörs skiljer sig också åt. Då läromedel har en betydelsefull roll i matematikundervisningen kan skillnaderna påverka utformning av undervisning och elevers möjlighet till kunskapsutveckling.

The Best Quadratic Unbiased Estimation (BQUE) of variance components in the Gauss-Helmert model is used to combine adjustment of GPS/levelling and geoid to determinethe individual variance components for each of the three height types. Through theresearch, different reasons for achievement of the negative variance components werediscussed and a new modified version of the Best Quadratic Unbiased Non-negativeEstimator (MBQUNE) was successfully developed and applied. This estimation could beuseful for estimating the absolute accuracy level which can be achieved using theGPS/levelling method. A general MATLAB function is presented for numericalestimation of variance components by using the different parametric models. Themodified BQUNE and developed software was successfully applied for estimating thevariance components through the sample GPS/levelling network in Iran. In the followingresearch, we used the 75 outlier free and well distributed GPS/levelling data. Threecorrective surface models based on the 4, 5 and 7 parameter models were used throughthe combined adjustment of the GPS/levelling and geoidal heights. Using the 7-parametermodel, the standard deviation indexes of the geoidal, geodetic and orthometric heights inIran were estimated to be about 27, 39 and 35 cm, respectively.

Bakgrund: Att utveckla matematiska förmågor och begrepp kan ske genom elevernas lekar och aktiviteter. Eleverna kan stärka sina matematiska förmågor genom teorin som de får i skolan och utveckla förmågorna vidare i praktiska moment i fritidsverksamheten. 

Syfte: Syftet med studien var att belysa hur matematik tar sig i uttryck i informella och formella aktiviteter i en fritidshemskontext, samt på vilka sätt som fritidslärare ger eleverna stöd i att relatera det matematiska innehållet i ett vardagligt sammanhang.

Metod: Studien genomfördes genom deltagande observationer och informella samtal med elever i åldrarna 6-12 år i ett fritidshem. Observationerna genomfördes under 5 dagar, sammanlagt under 15 timmar. För att kunna fokusera på elevernas och lärarnas samspel under lek och olika aktiviteter användes ett semistrukturerat observationsprotokoll och fältanteckningar. 

Resultat: Resultatet av studien visar att matematik förekommer i stor utsträckning i elevernas vardag på fritidshemmet och tar sig i uttryck på olika sätt. Resultatet visar också vilken fördel elever kan ha av varandra för att utveckla sitt lärande. Vidare visar resultatet att i åldersintegrerade grupper kan eleverna utbyta kunskaper och lära av varandra för att stärka sina matematiska förmågor.

The focus of higher education curricula has been changing from factual knowledge acquisition to developing students competences in response to a changing professional environment in the context of a knowledge economy and labour market globalisation.

Despite these social changes, existing teaching and learning strategies in Engineering are still mainly lecture-based.

We investigate competence development using a Project- Based Learning (PrBL) environment on a range of Engineering programmes at Lancaster University, UK and Högskolan Väst, Sweden. We evaluate the PrBL potential to enhance student employability prospects.

PrBL is an example of collaborative student-focussed learning underpinned by constructivist theory which encourages deeper learning via construction of meaning, connection of ideas and creation of meaningful artefacts. PrBL stimulates collaborative knowledge building among participants and develops a range of skills through creating an informal learning environment. First and second-year students on undergraduate programmes in Engineering departments in both universities with projects as part of their course participated in this study. In the UK the students had to design, build and test two types of robots. The Swedish students were given a project to make calculations for a pump with preset parameters. The projects were designed to help the students acquire competences relevant to their future career. All students worked in small groups. After finishing their projects, the students completed an open-ended questionnaire about their experiences.

The students evaluated PrBL positively, stating that they developed problem solving and analytical skills and the ability to apply mathematical tools. They highly rated collaboration with peers and emphasised the necessity of developing time management, communication and organisational skills.

Higher education systems in Europe including Scandinavia are facing new challenges in developing students' employability. We conclude with recommendations for promoting PrBL in university courses as it contributes to competence development and is an efficient tool when administrative resources are limited and when academic staff are faced with large student numbers.

Bakgrund:

Vi ser ett behov att forska i matematiska samtalsstrategier för att förbättra elevernas förmåga att föra matematiska resonemang och argumentera logiskt. Trots att kursplanen betonar vikten av dessa färdigheter, visar forskning att elever sällan engagerar sig i varandras resonemang i helklassituationer. Forskning kan hjälpa oss att utveckla och arbeta med strategier som möjliggör för elever att delta mer aktivt i diskussioner, utmana varandras tankar samt tillsammans utveckla sitt matematiska tänkande. Detta är nödvändigt för att de ska kunna anpassa och förändra sina tankemönster utifrån nya situationer och utmaningar, vilket är en grundläggande färdighet i läroplanen. Dessutom är förbättrade samtalsstrategier avgörande för att uppnå kursplanens långsiktiga mål om att kommunicera matematiskt.

Syfte:

Syftet med vår studie att undersöka och förstå hur lärarna i årskurs 4–6 genomför undervisning kring matematiska samtal. Genom att observera och intervjua lärare hoppas vi få en djupare förståelse för vilka strategier lärare använder i undervisningen.

• Vilka samtalsstrategier använder lärare i årskurserna 4–6 när de undervisar i matematiska samtal och hur fördelas dessa?

• Hur beskriver lärare att de arbetar med samtal i matematikundervisningen?

Metod:

För att besvara studiens frågeställningar användes strukturerade observationer och semi-strukturerade intervjuer som metoder. Fyra lärare observerades vid fyra tillfällen och vid fyra tillfällen hölls efterföljande intervju.

Resultat:

Vi kan se i våra resultat från både observationerna och intervjuerna att det finns en variation i hur samtalsstrategier används i undervisningen av matematiska samtal. Flera lärare är inte medvetna om vilka specifika samtalsstrategier de använder. Trots detta visar vår data att lärarna förstår syftet med matematiska samtal och använder olika typer av frågor för att främja interaktionen i klassrummet.

Bakgrund: Läroplanen lyfter fram en varierad undervisning men matematikundervisningen på lågstadiet har ett starkt fäste i läroboken. Det gör att undervisningen blir för abstrakt för snabbt och eleverna får inte en förståelse på djupet. Laborativa arbetssätt kan hjälpa lärare att göra undervisningen mer varierande för att få elever mer engagerade. Ett starkt engagemang hos eleven kan leda till ökad motivation och därmed en högre prestationsnivå. Engagemang, motivation och prestation kan alla kopplas ihop med en likvärdig skola där elever ska får lära sig utefter sina egna förutsättningar och utifrån sin nivå. Syfte: Syftet med arbetet är att få en inblick i lågstadielärares förhållningssätt till laborativa arbetssätt och deras syn på det traditionella läromedlet i matematikundervisningen. Vidare syftar arbetet till att undersöka hur elevernas motivation utvecklas av det arbetssätt som används i undervisningen.Metod: Empirin samlades in genom en kvalitativ intervjustudie. Vi intervjuade åtta lärare och delade upp rollerna så att en av oss ställde frågorna och den andra observerade och tog anteckningar. Vi använde oss av en intervjuguide som lärarna fick ta del av innan intervjun genomfördes. Resultat: Resultatet av vår studie visade att lärare upplever att motivationen hos deras elever är bra. Däremot kan vi inte säga om de drivs av en yttre eller en inre motivation och om det har någon påverkan på deras kunskapsinlärning. Vidare visar resultatet att undervisningen i matematik på lågstadiet inte har ett lika starkt fäste i det klassiska läromedlet som vi först trodde. Lärarna visar att de bedriver en varierad undervisning och att de har de kunskaper som behövs för att effektivisera matematikundervisningen. Vi kan även se att de arbetssätt och arbetsformer som används i undervisningen påverkar motivationen hos eleverna. 

Bakgrund: I läroplanen nämns inte begreppet estetiska lärprocesser men det framgår att eleverna ska få arbeta skapande och kreativt i undervisningen. Ämnena i skolan delas ofta upp i två delar, de teoretiska och de estetiska ämnena, trots att de bör vävas samman för att få ett komplementärt lärande. Estetiska lärprocesser hjälper eleverna att få både en kropplig och en sinnlig upplevelse av det kunskapsstoff som ska läras in. Detta kan ske med hjälp av de olika estetiska språken. De estetiska ämnena har därför möjligheten att utveckla elevers förmågor inom andra ämnesområden vilket även leder till ett lärande som sätter sig mer på djupet. 

Syfte: Syftet med studien är att få en uppfattning om hur och i vilken utsträckning lärare på lågstadiet använder sig av estetiska lärprocesser i sin matematikundervisning. Studien syftar även till att lyfta fram lågstadielärares kunskaper om estetiska lärprocesser och hur de resonerar kring hur de implementeras i undervisningen. Avslutningsvis vill vi även undersöka vilka möjligheter och hinder lärare upplever med att använda estetiska lärprocesser i sin matematikundervisning. 

Metod: Vi samlade in vår empiri genom en kvalitativ intervjustudie. Det var fem lärare som deltog och intervjuerna skedde antingen på respondentens arbetsplats eller på zoom. Under intervjuerna följde vi en intervjuguide där det även fanns utrymme för följdfrågor. 

Resultat: Resultatet av vår studie visade att lärarna hade olika uppfattningar kring vad begreppet estetiska lärprocesser innebär. Det visade även att lärarna använder sig av estetiken i sin undervisning men till en begränsad del, då de ansåg att det tar för lång tid eller att lektionen blir för flummig vilket gör att eleverna tappar matematiken. Vidare visade studien även att de lärare som medverkade använde sig av en traditionell undervisning under sina matematiklektioner.

Bakgrund: I detta examensarbete undersöker jag hur lärare för årskurs 4-6 beskriver och undervisar de elever som har mycket goda studieförutsättningar i matematik. Alla elever har rätt att utvecklas så långt som möjligt och de elever som lätt når de lägsta kunskapskraven ska ges ytterligare ledning och stimulans för att nå längre i sin kunskapsutveckling. För att organisera undervisningen så det blir utmanade för de dessa elever kan man använda pedagogisk och/eller organisatorisk differentiering. Anpassningar eller insatser man kan göra då är bland annat acceleration, berikning, nivågruppering och individuellt stöd. Får dessa elever inte de anpassningar de har rätt till finns risken att de blir uttråkade och tappar motivationen.

Syfte: Syftet är att belysa lärares perspektiv på och erfarenhet av att arbeta med de elever som har mycket goda studieförutsättningar i matematik. Studien avgränsas till att undersöka lärare som undervisar i matematik i årskurs 4-6.

Metod: Undersökningen är av kvalitativ karaktär och bygger på semistrukturerade intervjuer med verksamma matematiklärare i årskurs 4-6. 12 lärare valdes ut genom ett bekvämlighetsurval och blev tillfrågade att delta i intervjustudien, men endast fem valde att medverka.

Resultat: Resultatet av intervjuerna visade att lärarna, med olika formuleringar, beskrev de eleverna med mycket goda studieförutsättningar som kompetenta, motiverade och kreativa. Att eleverna är intresserade och engagerade samt arbetar i ett högre tempo än genomsnittseleven var samtliga lärare överens om. Resultatet visade också att pedagogisk differentiering, i form av acceleration, är den vanligaste anpassningen lärarna gör. Även berikning, att eleverna erbjuds mer utmanade och fördjupade uppgifter, var en frekvent insats de deltagande lärarna använder sig av. Nivågruppering förekom också, men det var mer ovanligt.

We evaluate the performance of a numerical method for global optimization of expensive functions. The method is using a response surface to guide the search for the global optimum. This metamodel could be based on radial basis functions, kriging, or a combination of different models. We discuss how to set the cyclic parameters of the optimization method to get a balance between local and global search. We also discuss the eventual problem with Runge oscillations in the response surface.

We demonstrate a technique to evaluate the aerodynamic robustness of a given blade profile which it is exposed to stochastic geometrical variation. The technique is based on random fields, with geometrical deviations continuously defined over the entire structure, with a prescribed statistical distribution function and a given correlation between these deviations. Control points are defined on the blade surface to model the blade geometry disturbances. At each control point a stochastic deviation is defined, which acts in the normal direction of the blade. By modeling disturbances in the normal direction instead of in the separate Cartesian directions, we automatically reduce the number of stochastic variables by a factor two. The perturbation variables are transformed via Karhunen-Loève eigenvalue decomposition, giving stochastically independent variables. The robustness is finally estimated by a Monte Carlo simulation, where computational fluid dynamic simulations are performed to evaluate the resulting change in blade performance for given geometrical perturbations.

A new surrogate model based algorithm for global optimization is derived. A metamodel such as a kriging model or a radial basis function model is used to build an interpolant of the objective function. Evaluation points are chosen in such a way that local search and global exploration is balanced. Instead of putting the next point exactly where it is most likely to find the global optimum, the new method also prepares for steps to come by minimizing the total uncertainty of the interpolated function within the most interesting areas of the search space.

We generalize an injectivity result obtained by Bayer-Fluckiger and Lenstra concerning pointed cohomology sets, defined by norm-one groups of finite-dimensional algebras with involution over fields k of characteristic different from 2, to the case of inverse limits of finite-dimensional k-algebras with involution. We use this generalization to obtain a result about self-dual normal bases for infinite Galois field extensions.